Hangolási rendszerek

Szerkeszti: Mikola Péter

(1. kísérlet)
pengessük meg, és figyeljük, mi történik. A húr rezeg. De hogyan? Úgy, hogy a két vége nem mozog. Nyilván, hiszen ott van keményen alátámasztva. De a többi része vajon mit csinál? A legfeltűnőbb az, hogy az egész húr kitér hol erre, hol arra, tehát két szélső helyzet között ingázik. Nevezzük el ezt a rezgésfajtát 1. rezgési módusnak! Ennek a rezgésnek van egy stabil periódusideje. Ennek a periódusidőnek a reciprokát nevezzük el rezgési frekvenciának!

(2. kísérlet)
(2.1 aleset)
A húr felezőpontját finoman érintsük meg, amikor még jól szól! Ekkor csomó minden elhallgat, de szólva marad valami, fennmarad egy másik rezgésállapot (hacsak nem a közepén pengettük meg, de ne ott pengessük!).
(2.2 aleset)
Finoman érintsük meg a húr felezőpontját, közben pengessük meg kb. a húrhossz negyedében, majd a megszólalás után engedjük el teljesen! Az így előidézett rezgésállapotot leginkább riszáló mozgásnak nevezhetnénk. Ekkor a felezőpontban nincs mozgás (nevezzük ezt a pontot rezgési csomópontnak!), a húr két fele egymással ellenkező irányban tér ki periodikusan. Ennek a rezgésnek (Nevezzük 2. rezgési módusnak!) a periódusideje éppen fele az 1. módusú rezgés periódusidejének, vagyis a frekvenciája éppen a kétszerese. (Ez sem igaz, csak akkor, ha a húr tökéletesen hajlékony. Pl. zongorahúroknál már észrevehető az eltérés, de ettől most tekintsünk el!)

(3. kísérlet)
Finoman érintsük meg a húr harmadolópontját, és pengessünk kb. a húrhossz hatodában! Az így előidézett 3. rezgési módusnak 2 rezgési csomópontja van (a megérintett helyen és a másik harmadolópontban), az 1. és a 3. harmadrész azonos fázisban, míg a középső harmad ellenfázisban rezeg. Ennek a rezgésfajtának a frekvenciája éppen háromszorosa az 1. módusénak (végtelenül hajlékony húr esetén, amit elég jól közelítenek a juhbél és nylon húrok).

(4. kísérlet)
Negyedelőpontban érintve pengetünk. Ezt már nem mesélem el, ki lehet találni, minden analóg az előzővel, lehet folytatni.
(kísérletek vége)

A lényeg:
A fenti módon kiszűrőzött különféle rezgésfajták a közönségesen pengetett húr hangjában is benne vannak. Együtt szólnak az 1. rezgési módussal. Ezeknek a hangoknak a halmazát a továbbiakban nevezzük természetes felhangsornak! Ha egyszerre két különböző hangra behangolt húrt pengetünk meg, akkor egyszerre két természetes felhangsor fog megszólalni. Ha a két rezgés frekvenciájának aránya olyan, hogy a két felhangrendszer szépen illeszkedik egymásra, vagyis sok az egybeeső frekvencia, akkor a két hang kellemesen szól együtt (nevezzük konszonanciának!), ha nem olyan, akkor kellemetlenül hangzik (nevezzük disszonanciának!). Hogy mi minősül konszonanciának, mi nem (vagyis hogy hol a határ, mennyire kell a felhangrendszereknek illeszkedniük), annak megítélése némileg szubjektív, koronként, kultúránként különbözhet, de az fizikai törvényszerűség, hogy minél kisebb egész számok hányadosával írhatók le a frekvenciák arányai, annál nagyobb a konszonancia foka. (Ez sem igaz, csak akkor, ha a vizsgált hangok felhangösszetétele harmonikus, vagyis megfelel a fent leírt szabálynak. Hajlékony húrok és vékonycsövű sípok esetében ez kb. teljesül, de dobok és harangjátékok esetében korántsem.)

A legtökéletesebb konszonancia az 1:2 frekvenciaarány, ezt a továbbiakban nevezzük oktávnak (az elnevezés magyarázatától most hadd tekintsek el), a következők a 2:3 (kvint), 3:4 (kvart). Sem a görögök, sem a kínaiak nem mentek tovább a konszonanciákban, a többi hangközt disszonánsnak tekintették. Úgy is építették fel a hangrendszerüket, hogy a 4:5 arányú nagytercet és az 5:6 arányú kistercet nem használták fel benne. Minden hangközt a kvartok, kvintek és oktávok összeadásából-kivonásából állítottak elő.

Most akkor próbáljuk ki (matematikailag), milyen hangrendszert tudunk összerakni, ha veszünk egy kiinduló hangot (legyen a frekvenciája 1 egység), attól egy kvinttel magasabbat (3/2), majd még egy kvinttel magasabbat (9/4), illetve erről visszalépünk egy oktávot (9/8 (ez a püthagorasi egészhang)), majd erről ismét lépünk egy kvintet felfelé (27/16), aztán mégegyet (81/32), majd ismét egy oktávot le (81/64 (Ez már két egészhang, vagyis egy nagyterc, de nem azonos a 4/5-ös természetes felhangrendszerbéli nagyterccel, hanem annál nagyobb. A kétféle nagyterc különbségét jó hallású egyedek szabadfüllel is jól érzékelik, ezt az eltérést nevezzük didümoszi vagy más néven szintonikus kommának)).

Ha tovább folytatjuk a kvintek egymásrapakolását és időnként egy-egy oktávnyi visszalépést, akkor +12 kvint és -7 oktáv után közel megérkezünk a kiindulási hangra, de nem pontosan, hanem egy kis eltéréssel. Ennek a neve püthagorasi komma. A tiszta (3/2 arányú) kvintekből fenti módon felépített hangrendszert nevezzük püthagorasi hangrendszernek!

A püthagorasi hangrendszert tehát 3/2 frekvenciaarányú tiszta kvintekből tudjuk felépíteni. Próbáljuk meg ezt a kvintoszlopot folytatni mindkét irányban, induljunk ki pl. a C hangból (Hogy miért pont abból? Hát csak!).
Kvintépítkezés felfelé:
C G D A E H F# C# G# D# A# E# H#
Az utolsó hang (H#) egy püthagorasi kommával magasabb a c-nél.
Kvintépítkezés lefelé:
C F B Eb Ab Db Gb Cb Fb
(Vigyázat, angol nyelvterületen a B-t Bb-nek írják, az ő B-jük a mi H-nknak felel meg.)
Most a C-nél fogjuk össze és fordítsuk egybe:
Fb Cb Gb Db Ab Eb B F C G D A E H F# C# G# D# A# E# H#
Most ezt a sort írjuk fel egy hosszú papírcsíkra, de úgy, hogy egyenlő távolságokra legyenek, majd csavarjuk össze csavarvonalba úgy, hogy a Fb-E, Cb-H, Gb-F#, Db-C#, Ab-G#, Eb-D#, B-A#, F-E#, C-H# párok egymás mellé kerüljenek! A most egymás mellé került párok között rendre egy-egy püthagorasi komma eltérés van, éspedig úgy, hogy a párok második tagja a magasabb. A püthagorasi hangrendszerben tehát igaz az a megjegyzés, hogy a keresztes hang magasabb az ő bés párjánál. A hangrendszer kvintkörének a záróhibája (a püthagorasi komma, mint említettük) pozitív, vagyis a 12 kvint felfelé építkezésekor (és 7 oktáv visszalépés után) fölé lő a kiinduló hangnak.

Ha egy billentyűs hangszert püthagorasi rendszerben akarunk behangolni, akkor vagy megcsináljuk az összetartozó hangpárokat, és akkor oktávonként 21 billentyűnk lesz, vagy eltekintünk bizonyos hangok meglététől, és elvágjuk az előbbi felcsavart szalagunkat úgy, hogy ne legyen rajta átfedés. Ekkor pl. egy ilyen darab marad belőle:
Eb B F C G D A E H F# C# G#
de D# már nincs, mert Eb van. Ez esetben a G#-Eb hangköz nem azonos a G#-D# tiszta kvinttel, hanem annál egy püthagorasi kommával kevesebb. Az ilyen majdnem-kvintet, amely egy hangolási rendszer kvintkör-záróhibájával terhelt, farkas kvintnek nevezzük. Ez nagyon csúnyán szól, tehát ki kell kerülni. Ez viszont nagyon behatárolja egy hangrendszerben játszható hangnemek számát. Ennek a problémának az elméleti megoldását Európában a 17. században írták le, és az lett volna a lényege, hogy a püthagorasi kommát egyenletesen elosztják a 12 kvintre, és akkor záródik a kör, nincs farkaskvint, minden hangnem egyformán játszható (ez az egyenletes temperálás).

De van egy másik gond:
A késői középkor zenéjétől kezdve (de a reneszánszban már nagyon) a terc is konszonanciának számított, terc-építkezésű akkordokat kezdtek használni, és igény lépett fel arra, hogy a rögzített hangolású hangszereken is lehessen jól hangzó akkordokat játszani, aminek feltétele a közel tiszta természetes (nagy és kis) terc. Az egyenletes temperálásban viszont a tercek csak egy picit kerültek volna közelebb a tisztához a püthagorasi hangoláshoz képest, de még mindig nagyon messze lettek volna az 5:4 és 6:5 arányoktól. Arra viszont nem volt szükség, hogy minden hangnemben lehessen játszani, ezért a 17.-18. századi Európai zenei gyakorlat nem tért át az egyenletes temperálásra (mint ahogy azt sokan tévesen hiszik), hanem más utat választott.

A reneszánsz és a barokk zene még nem igényelte, hogy egy-egy művön belül sokféle hangnemet lehessen használni, és az egyes művek hangnemválasztásában is mértéket lehetett tartani, ugyanakkor a fejlett többszólamúság valamint a szolisztikus művek akkordikus kíséretének elterjedése kikényszerítette a tisztább terceket preferáló hangolási rendszereket. Ráadásul az orgonaépítés tudománya ekkoriban érte el azt a tökéletességet, hogy az egyház részéről mind nagyobb igény mutatkozott orgonákra, így az orgonaépítés művészi iparággá fejlődhetett. Egy nagyobb orgonában van párezer síp, ezért úgy kell megcsinálni, hogy ne kelljen hangolgatni, a szükséges hangnemekben szépen szóljon, és engedjen meg némi modulációs, transzpozíciós lehetőséget, tehát a játszható hangnemek köre ne legyen nagyon szűk.

Sajnos ezek az igények egyszerre csak kompromisszumokkal elégíthetők ki.
Ha egy adott hangnemben játszható minél tisztább hármashangzatok igénye felől közelítjük meg a kérdést (ami a 17. században már funkciós harmóniákat alkalmazó zeneirodalom oldaláról valós igény), akkor rakjunk össze egy skálát egy alaphangra és annak alsó-felső kvintjeire épített dúr hármashangzatokból! A tiszta dúr akkord frekvenciaarányai: 4:5:6, a tiszta kvint 3:2. Az ezekből adódó diatonikus skála egy oktávjának hangközei az előbb említett alaphangról indulva felfelé:
9/8, 10/9, 16/15, 9/8, 10/9, 9/8, 16/15
Ilyen rendszerben szépen lehet játszani egy hangnemben, de több hangnemben már gond van. A módosított hangokat beszúrhatjuk az egészhangok közé, de a szükséges hangzatok függvényében különböző magasságúra jönnek ki, sőt, a törzshangsor hangjai közötti konszonáns hangközök némelyike is "hibás". Pl. a 2. és 6. hang közötti kvint egy didümoszi kommával kisebb a tisztánál, az pedig már jól hallható eltérés.

Mi tehát a megoldás?
Ha transzponálásra, modulációra alkalmas hangrendszert akarunk alkotni, akkor vissza kell térnünk a kvintkörös építkezésre, vagyis a püthagorasi rendszerből kell kiindulni, de valamit tenni kell a tisztább tercek érdekében. De vajon mit?
Említettük, hogy az egyenletes temperáláskor 1/12 püthagorasi kommával összehúzott kvintek egy picivel közelebb viszik a terceket is a konszonanciát adó természetes arányokhoz, de nem eléggé. Nosza, húzzuk össze jobban! Azt is láttuk, hogy a püthagorasi rendszerben egymásra pakolt 4db tiszta kvint olyan nagytercet eredményez, ami egy didümoszi kommával nagyobb a tisztánál. Fentiekből egy olyan megoldás következik, hogy a kvinteket 1/4 didümoszi kommával kell összehúzni, amitől a nagytercek tiszták lesznek, a kistercek pedig 1/4 kommával szűkek, akárcsak a kvintek.
Ezt a hangolási rendszert nevezték negyedkommás középhangú kiegyenlítésnek, vagy néha negyedkommás temperálásnak.

De nézzük meg, hogyan záródik a kvintkör:
1db püthagorasi komma, mínusz 3db didümoszi komma, az kb. 2 komma mínuszban, ennek a hangköznek is neve van: diézis. Ez már egy félhangnak majdnem a fele. Ennyivel hibás a farkaskvint, ami mindenáron elkerülendő, mert elviselhetetlen. Ennyi a különbség a mai temperált rendszerben megegyező enharmonikus hangok között. Az az érdekes, hogy ennek ellenére ez a hangolási rendszer (néhány egyéb rendszer mellett) egészen a 19. századig használatban volt. Hogyan lehetett? Úgy, hogy a zeneszerzők tisztában voltak azzal, hogy melyik hangok között volt a farkaskvint, és azt nagy ívben elkerülték. A negyedkommás temperálás 6 dúr és 3 moll hangnemben teljesértékű muzsikálást enged meg nagyon szépen szóló hangzatokkal, míg az azon túlmenő szomszédos hangnemekben bizonyos hangközöket el kell kerülni, hogy a diézis és a farkaskvint problémája ne jelentkezzen.

A java barokk zeneszerzők J. S. Bach-al az élen szűknek érezték a negyedkommás temperálás lehetőségeit. Volt néhány egyenrangúan "jó" hangnem, és voltak "rossz" hangnemek, amelyek használhatatlanok voltak. Jobban szerettek volna "kissé pikáns" vagy egyéb módon "sajátos hangulatú" de használható hangnemeket. Ennek érdekében valahogy el kellett tüntetni, vagy legalább csökkenteni kellett a kvintkör záróhibáját.

Egyik módszer a kvintszűkítés mértékének csökkentése. Bevezették az ötödkommás és hatodkommás középhangú temperálást. Utóbbi a híres orgonaépítő, Gottfried Silbermann nevéhez fűződik. A hatodkommás rendszer záróhibája már csak egy komma (kb. a kromatikus félhang egynegyede), így az ezzel terhelt farkaskvinteket bizonyos körülmények között rövid ideig akár el is lehet viselni. A másik módszer kétféle kvint használata. A kvintkörben "elöl lévő", gyakran használt kvintek 1/4 kommával vannak beszűkítve, így a kevés alterált hangot tartalmazó hangnemekben a tercek és a hármashangzatok jól szólnak. (C-G-D-A-E negyedkommával összehúzott kvintek.) A kvintkör "innenső fele" a negyedkommás középhangú temperálás szerint viselkedik. A "hátulsó" kvintek tiszták, vagyis a kvintkör fennmaradó része a püthagoraszi rendszer szerint viselkedik. Így a megmaradó záróhiba elenyésző, vagyis nincs farkaskvint, de a különböző hangnemeknek különböző "íze" van. Az ilyen elvű, de némileg kissé különböző hangolási rendszerek szerzői:
Werckmeister, Kirnberger, Neidhardt és Vallotti.
Ők a 17. század végén, illetve a 18. század első felében működtek. Az ilyen eltüntetett farkaskvintű hangolásokat nevezik "jól temperált" (well-tempered, wohltemperiert) rendszereknek. Bach közismert preludium és fúga gyűjteménye is eljátszható ilyen hangolással, de Bach még tovább finomította a hangolást. A Bach által javasolt hangolás kódja látható a kézirat címlapjának tetején, ennek a megfejtése azonban nem egyszerű.

Ebben a videóban láthatunk egy lehetséges megfejtést:

folyt. köv.